協(xié)方 – 錢如故 http://m.weightcontrolpatches.com 最有價值的基金投資和股票投資理財?shù)呢斀?jīng)網(wǎng)站! Wed, 12 Oct 2022 07:35:33 +0000 zh-CN hourly 1 https://wordpress.org/?v=5.4.16 http://m.weightcontrolpatches.com/wp-content/uploads/2021/03/2021030407115910.jpg 協(xié)方 – 錢如故 http://m.weightcontrolpatches.com 32 32 投資組合風險標準差,投資組合風險標準差公式? http://m.weightcontrolpatches.com/66158.html http://m.weightcontrolpatches.com/66158.html#respond Thu, 02 Feb 2023 14:53:42 +0000 http://m.weightcontrolpatches.com/?p=66158 投資組合風險標準差,投資組合風險標準差公式?

前一篇文章36 投資組合收益率的計算中介紹了收益率的計算方法,作為其姊妹篇,本文主要介紹投資組合風險計量方法的數(shù)學理論基礎(chǔ)。

首先需要搞清楚與度量風險有關(guān)的幾個重要的理論點。不要問為什么,反正很重要。等您把風險度量的原理徹底搞懂的時候自然會明白。由于這個知識點涉及的數(shù)學定義比較多,請您務(wù)必靜下心來認真搞懂每一個點。不論您是高職生,本科生,還是財務(wù)類專業(yè)的研究生,本著夠用,本文沒有過多理論延伸,感興趣的可以自行延伸學習。但是,搞懂本文介紹的幾個點是后續(xù)計算所必須的。

不失一般性,我在文末給出python的程序?qū)崿F(xiàn),僅供您學習參考。

今天是國慶節(jié),祝偉大祖國更加繁榮富強!也祝大家國慶快樂!

正文起:

1、方差

方差(variance/deviation Var),這一詞語率先由羅納德·費雪(Ronald Fisher)在其論文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。是在概率論和統(tǒng)計上用來對隨機變量或一組數(shù)據(jù)離散程度的度量。概率論中方差用來度量隨機變量與其數(shù)學期望之間的偏離程度,即二階中心矩。統(tǒng)計中的方差是樣本值與樣本均值離差平方和的平均數(shù)。數(shù)學計算式如下:

1.1 總體方差計算公式

1.2 樣本方差計算公式

實際中總體均值很難取得,人們常用樣本統(tǒng)計量代替總體統(tǒng)計量。經(jīng)校正后,樣本方差計算公式為:

(1)離散型數(shù)據(jù)的方差

即:

(2)連續(xù)型數(shù)據(jù)的方差

即:

另根據(jù)二階矩得:

樣本方差和樣本標準差(方差的平方根)用來衡量一個樣本波動的大小,樣本方差或樣本標準差越大,樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。

2、協(xié)方

兩個實隨機變量XY之間的協(xié)方Cov(X,Y)定義為:

即:

從定義看,協(xié)方差表示兩個變量與其均值誤差乘積的數(shù)學期望。

(1)如果X-E(X)>0 與Y-E(Y)>0,即兩個變量的變化方向一致,則cov(x,y)>0。

(2)如果X-E(X)>0 與Y-E(Y)<0,即兩個變量的變化方向相反,則cov(x,y)<0。

(3)如果X-E(X)<0 與Y-E(Y)>0,即兩個變量的變化方向相反,則cov(x,y)<0。

(4)如果X-E(X)<0 與Y-E(Y)<0,即兩個變量的變化方向一致,則cov(x,y)>0。

顯然,如果x與y彼此獨立,則cov(x,y)=0,因為兩個獨立的隨機變量E[XY]=E[X]E[Y]。協(xié)方差為0的兩個隨機變量是不相關(guān)的。

由協(xié)方差定義知:

Cov(X,X)=D(X),Cov(Y,Y)=D(Y)。即兩組變量一樣的時候的協(xié)方差就是該變量的方差。

顯然,協(xié)方差最明顯的作用是用來判斷變量變動方向是否一致,即變量之間的相關(guān)性。

3、相關(guān)系數(shù)

皮爾遜(Pearson)相關(guān)系數(shù)定義為:

關(guān)于相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差,方差之間的關(guān)系在上面的公式中已經(jīng)表示的很清楚了,在此不做過多說明。對此想深入了解的可以查閱相關(guān)統(tǒng)計學書籍。

4、正定矩陣(positive definite matrix)

(1)廣義定義:設(shè)A是n階方陣,如果對任何非零向量X,都有XTAX>0,其中XT表示X的轉(zhuǎn)置,就稱A為正定矩陣。

如果B為n階方陣,E為單位矩陣,a為正實數(shù)。在a充分大時,aE+B為正定矩陣。

(2)狹義定義:一個n階的實對稱陣A是正定的,當且僅當對于所有的非零實系數(shù)向量X,都有XTAX> 0,其中XT表示X的轉(zhuǎn)置。

(3)對稱正定矩陣。

一個實對稱矩陣 A 正定,當且僅當存在可逆矩陣C,使得A=CTC;

一個實對稱矩陣 A 正定,當且僅當A 的特征值全大于零;因此,求出A的所有特征值,若A的特征值均為正數(shù),則A是正定的;若A的特征值均為負數(shù),則A為負定的。

5、半正定矩陣(positive semidefinite matrix)

(1)廣義定義:設(shè)A是n階方陣,如果對任何非零向量X,都有XTAX≥0,其中XT表示X的轉(zhuǎn)置,就稱A為半正定矩陣。

(2)狹義定義:設(shè)A為實對稱矩陣,若對于每個非零實向量X,都有XTAX≥0,則稱A為半正定矩陣,稱XT'AX為半正定二次型。XT表示X的轉(zhuǎn)置。

設(shè)A是n階實對稱矩陣,A的特征值均為非負的;存在n階實矩陣C,使A=CTC。

6、Cholesky分解

當 A 是一個實對稱正定矩陣(SPD, real Symmetric positive definite matrix)時,它就可以分解成下三角矩陣 C 和上三角矩陣CT的乘積。

即:A=CTC,C為分解出的下三角矩陣。

為啥要介紹這些理論?

因為,后面計算投資組合的標準差(風險),要開根號,根號里的數(shù)據(jù)必須大于等于零。否則在實數(shù)域范圍內(nèi)無法求解。

這些概念將在后面的計算都會用到,所以不要以為是多余的,同時要樹牢觀念,數(shù)學的觀念。

基本概念就介紹這么多,感興趣的可以查閱相關(guān)資料以獲得更加深入的學習。

7、相關(guān)算法程序

不知道何故,系統(tǒng)的代碼塊功能調(diào)試中,今日頭條平臺提示說該功能逐步開放。

有需要查看相關(guān)算法程序的,請查閱并關(guān)注我的微信公眾號文章:37 投資組合風險計量(理論基礎(chǔ))。

【僅供參考】

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