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數(shù)學建模求最優(yōu)投資組合，數(shù)學建模求最優(yōu)投資組合怎么做？

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錢如故

數(shù)學建模求最優(yōu)投資組合，數(shù)學建模求最優(yōu)投資組合怎么做？

組合介紹

在投資的過程中，大家會常常聽到“資產配置”、“投資組合”等術語，這些術語的含義都是通過分散化投資的方式來降低投資過程中所存在的風險。那么問題來了，如何定義投資風險，以及如何分散化投資才能實現(xiàn)收益與風險的最優(yōu)配比？上世紀50年代，美國經(jīng)濟學家馬科維茨首次利用數(shù)理分析的方法提出了風險與收益的精確定義，即基于均值方差的投資組合理論，該理論奠定了現(xiàn)代金融投資組合理論的基礎。

馬科維茨投資組合理論認為投資單只股票的風險可以分為系統(tǒng)性風險和非系統(tǒng)性風險，系統(tǒng)性風險概括來說就是市場風險，例如宏觀經(jīng)濟變動或政策變動。非系統(tǒng)性風險指的是特定風險，例如公司破產、財務造假等特定事件，這種風險對于個股的沖擊尤其之大，但只要想辦法增加組合中的股票數(shù)目，該類風險可以被分散掉，這也是我們俗稱的“雞蛋不要放在一個籃子里”。

在馬科維茨投資組合理論中，其利用組合方差和均值分別來定義組合風險與收益，其表達式為：

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投資組合配置實現(xiàn)過程

在這里，我們將以600519.SH 貴州茅臺,601318.SH 中國平安,600104.SH 上汽集團,002475.SZ立訊精密四只股票為例構建投資組合。

首先我們通過Python獲得上述四只股票在2019年的日收盤價數(shù)據(jù)，將股價數(shù)據(jù)繪制成曲線：

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進一步，可計算出四只股票的收益率序列：

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分別計算四只股票的平均日收益：

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結果為：

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計算股票收益率協(xié)方差矩陣：

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結果為：

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在能夠定義投資風險與收益的基礎上，不妨回到均值方差理論提出的初衷，其是為了獲得一組權重以使得以該權重進行配置的投資組合的風險與收益的配比達到最優(yōu)狀態(tài)。先不考慮如何求這組最優(yōu)權重，如果我們隨機生成大量的權重組合，并按照這些權重組合去配置上述四只股票，那我們可以得到每種組合所對應的風險與收益，若以風險為橫軸，以收益為縱軸將這些組合點繪制成圖表，那它們就會是這個樣子：

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對于給定的四只股票，構建所有可能的組合配置，可以神奇的發(fā)現(xiàn)，這些組合點匯聚成了一個類似子彈頭的圖形。從圖中分析可以得出，子彈的下半部分是無效的，因為下方的組合在相同風險下都有比它收益更高的組合存在，因此下方組合我們是不取的。以同樣的分析框架，我們可以認為子彈上方的邊界處存在最優(yōu)投資組合，邊界也被稱有馬科維茨有效前沿。當然，由于上圖中的子彈邊界是模擬有限次而得到了，因此實際的有效前沿與該圖示邊界是有差異的。

最后我們需要解決如何分散化風險并實現(xiàn)收益與風險最優(yōu)配比的問題。在這里，有兩種考慮思路：

1、在獲得預期收益率基礎上，承受最小的投資風險。

2、在可接受的投資風險水平上，實現(xiàn)最大的投資收益。

由于兩種思路在本質上是一致的，在這里，我們只考慮用第一種思路進行建模。

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在這里為簡化說明，只考慮不賣空情況下的投資組合。

根據(jù)上述模型，我們可以求解得出大量處于有效前沿上的投資組合點，對這些點進行擬合，便可以得到有效前沿。

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進一步可根據(jù)風險調整后的收益率指標（夏普比率）從有效前沿上選出最優(yōu)的投資組合：

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注：由于期望收益采用日收益率序列計算，夏普相較于一般值較小

假設初始投資額為1元錢，繪制最優(yōu)投資組合資產價值變化曲線，并將等權重配置的資產組合價值變化曲線作為基準。從圖中可以看出最優(yōu)投資組合總體上能夠優(yōu)于基準投資組合。

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參考文獻：

[1]張賀清. 均值和方差變動的馬科維茨投資組合模型研究[D].哈爾濱工業(yè)大學,2015.

[2]曾穎苗,張珺,張晴.馬科維茨模型在股市最優(yōu)投資組合選擇中的實證研究[J].湘潭師范學院學報(社會科學版),2009,31(04):88-91.

[3]郭樹華,付慶華.我國股票市場有效前沿的實證分析——對馬科維茨模型的驗證[J].思想戰(zhàn)線,2003(01):23-28.

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出品/TES工作室

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