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數(shù)學(xué)建模求最優(yōu)投資組合，數(shù)學(xué)建模求最優(yōu)投資組合怎么做？

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錢如故

數(shù)學(xué)建模求最優(yōu)投資組合，數(shù)學(xué)建模求最優(yōu)投資組合怎么做？

組合介紹

在投資的過程中，大家會(huì)常常聽到“資產(chǎn)配置”、“投資組合”等術(shù)語，這些術(shù)語的含義都是通過分散化投資的方式來降低投資過程中所存在的風(fēng)險(xiǎn)。那么問題來了，如何定義投資風(fēng)險(xiǎn)，以及如何分散化投資才能實(shí)現(xiàn)收益與風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)配比？上世紀(jì)50年代，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬科維茨首次利用數(shù)理分析的方法提出了風(fēng)險(xiǎn)與收益的精確定義，即基于均值方差的投資組合理論，該理論奠定了現(xiàn)代金融投資組合理論的基礎(chǔ)。

馬科維茨投資組合理論認(rèn)為投資單只股票的風(fēng)險(xiǎn)可以分為系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)概括來說就是市場風(fēng)險(xiǎn)，例如宏觀經(jīng)濟(jì)變動(dòng)或政策變動(dòng)。非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)指的是特定風(fēng)險(xiǎn)，例如公司破產(chǎn)、財(cái)務(wù)造假等特定事件，這種風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于個(gè)股的沖擊尤其之大，但只要想辦法增加組合中的股票數(shù)目，該類風(fēng)險(xiǎn)可以被分散掉，這也是我們俗稱的“雞蛋不要放在一個(gè)籃子里”。

在馬科維茨投資組合理論中，其利用組合方差和均值分別來定義組合風(fēng)險(xiǎn)與收益，其表達(dá)式為：

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投資組合配置實(shí)現(xiàn)過程

在這里，我們將以600519.SH 貴州茅臺(tái),601318.SH 中國平安,600104.SH 上汽集團(tuán),002475.SZ立訊精密四只股票為例構(gòu)建投資組合。

首先我們通過Python獲得上述四只股票在2019年的日收盤價(jià)數(shù)據(jù)，將股價(jià)數(shù)據(jù)繪制成曲線：

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進(jìn)一步，可計(jì)算出四只股票的收益率序列：

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分別計(jì)算四只股票的平均日收益：

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結(jié)果為：

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計(jì)算股票收益率協(xié)方差矩陣：

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結(jié)果為：

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在能夠定義投資風(fēng)險(xiǎn)與收益的基礎(chǔ)上，不妨回到均值方差理論提出的初衷，其是為了獲得一組權(quán)重以使得以該權(quán)重進(jìn)行配置的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益的配比達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)。先不考慮如何求這組最優(yōu)權(quán)重，如果我們隨機(jī)生成大量的權(quán)重組合，并按照這些權(quán)重組合去配置上述四只股票，那我們可以得到每種組合所對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)與收益，若以風(fēng)險(xiǎn)為橫軸，以收益為縱軸將這些組合點(diǎn)繪制成圖表，那它們就會(huì)是這個(gè)樣子：

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對(duì)于給定的四只股票，構(gòu)建所有可能的組合配置，可以神奇的發(fā)現(xiàn)，這些組合點(diǎn)匯聚成了一個(gè)類似子彈頭的圖形。從圖中分析可以得出，子彈的下半部分是無效的，因?yàn)橄路降慕M合在相同風(fēng)險(xiǎn)下都有比它收益更高的組合存在，因此下方組合我們是不取的。以同樣的分析框架，我們可以認(rèn)為子彈上方的邊界處存在最優(yōu)投資組合，邊界也被稱有馬科維茨有效前沿。當(dāng)然，由于上圖中的子彈邊界是模擬有限次而得到了，因此實(shí)際的有效前沿與該圖示邊界是有差異的。

最后我們需要解決如何分散化風(fēng)險(xiǎn)并實(shí)現(xiàn)收益與風(fēng)險(xiǎn)最優(yōu)配比的問題。在這里，有兩種考慮思路：

1、在獲得預(yù)期收益率基礎(chǔ)上，承受最小的投資風(fēng)險(xiǎn)。

2、在可接受的投資風(fēng)險(xiǎn)水平上，實(shí)現(xiàn)最大的投資收益。

由于兩種思路在本質(zhì)上是一致的，在這里，我們只考慮用第一種思路進(jìn)行建模。

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在這里為簡化說明，只考慮不賣空情況下的投資組合。

根據(jù)上述模型，我們可以求解得出大量處于有效前沿上的投資組合點(diǎn)，對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行擬合，便可以得到有效前沿。

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進(jìn)一步可根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后的收益率指標(biāo)（夏普比率）從有效前沿上選出最優(yōu)的投資組合：

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注：由于期望收益采用日收益率序列計(jì)算，夏普相較于一般值較小

假設(shè)初始投資額為1元錢，繪制最優(yōu)投資組合資產(chǎn)價(jià)值變化曲線，并將等權(quán)重配置的資產(chǎn)組合價(jià)值變化曲線作為基準(zhǔn)。從圖中可以看出最優(yōu)投資組合總體上能夠優(yōu)于基準(zhǔn)投資組合。

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參考文獻(xiàn)：

[1]張賀清. 均值和方差變動(dòng)的馬科維茨投資組合模型研究[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué),2015.

[2]曾穎苗,張珺,張晴.馬科維茨模型在股市最優(yōu)投資組合選擇中的實(shí)證研究[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2009,31(04):88-91.

[3]郭樹華,付慶華.我國股票市場有效前沿的實(shí)證分析——對(duì)馬科維茨模型的驗(yàn)證[J].思想戰(zhàn)線,2003(01):23-28.

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